Pour moi (on demandera confirmation aux experts de la couture), c'est parce que le tissu peut être très raide. Donc pour l'assouplir, on le bat avec des lattes de bois. Comme on disait "battre le linge" au lavoir. On dit aussi "rabattre les coutures".

Ah voilà, Projet Voltaire explique :

Il faut remonter au XVe siècle pour voir apparaître l’expression sous sa forme initiale : « rompre à plate couture ». À l’époque, les tissus n’étaient pas aussi soyeux et aussi fins qu’aujourd’hui. Les étoffes étaient tellement raides que les coutures, boutonnières et ourlets, en raison de leur double épaisseur, incommodaient et boudinaient quiconque les portait. Les tailleurs avaient donc comme travail, en plus de leur savoir-faire en couture, de les rendre plus souples en les aplatissant. Pour ce faire, ils pouvaient utiliser l’ancêtre du fer à repasser : le carreau, ou bien utiliser une latte pour les marteler. On appelait cette technique : rabattre les coutures. Au XVIe siècle, en référence à cette pratique, arrive l’expression « rabattre la couture à quelqu’un », désignant le fait de frapper une personne violemment. Il faut ensuite se tourner vers le théâtre pour comprendre le succès de l’expression au siècle suivant. Dans les farces de l’époque, des scènes récurrentes faisaient le bonheur des spectateurs. L’une d’elles représentait un tailleur, venu frapper allégrement son client afin de rendre ses coutures moins apparentes. Le personnage était ainsi rossé, sans avoir rien demandé, sous prétexte qu’il fallait le rendre plus élégant. En définitive, la victoire écrasante du tailleur, reléguant son client en coulisse pour le reste de la pièce, a permis d’utiliser l’expression telle qu’on la connaît aujourd’hui.

Sauf erreur de ma part, ces modes de transports sont justement appelés des « navettes » parce qu’ils effectuent des va-et-vient incessants entre deux lieux, comme la navette d’un métier à tisser. (Et puisque la navette des tisserands tient son nom de sa forme qui rappelle un bateau, il y a pour les bateaux-bus un retour aux sources assez amusant.)

Il me semble que l’expression « faire la navette » (on disait aussi « jouer de la navette » à une époque) est plus ancienne que la pratique d’utiliser directement le substantif « navette » pour désigner un mode de transport ou un véhicule. Voir les définitions du CNRTL et le Littré.

Edit : Le Littré mentionne aussi cette ancienne expression pour parler d’un bavard : « la langue lui va comme la navette d'un tisserand » — très pratique pour insulter quelqu’un discrètement en 2025.

Comme souvent quand on a l'explication :)

Si si c'est bien ça !